ГБПОУ «Нижегородский политехнический колледж имени Героя Советского Союза Руднева А.П.» Методическая разработка урока математики  «Задачи на максимум и минимум» для учащихся I курсаУрок изучения нового материала  Автор разработкиучитель математики высшей категорииОрлова Галина Николаевна  Нижний Новгород2018 г.АНКЕТАУчитель: Орлова Галина НиколаевнаГБПОУ «Нижегородский политехнический колледж им. Руднева А.П.» Сормовского района г. Нижнего Новгорода.Комплектация работы:Данный файл;Презентация (Решение задач на максимум и минимум с помощью производной);Исследовательские мини-проекты учащихся;Раздаточный материал по теме:а) содержание урока;б) технологическая карта решения задач на оптимизацию;в) задачи для решения;г) таблица оценивания работы студентов;д) аннотация и пояснительная записка урока для гостей.АННОТАЦИЯ Авторская разработка урока изучения нового материала по теме: «Решение задач на оптимизацию с помощью производной». Содержание урока раскрывает практические применения производной. Разработка рассчитана на 2 часа. Это ….. пара уроков по теме « производная». На данный момент учащиеся знают определение производной, изучили геометрический и физический смысл производной, умеют применять правила нахождения производных, знакомы со способами исследования функций с помощью производной, умеют находить экстремумы, промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значения функций на промежутке. Урок разработан для студентов I и II курсов политехнического колледжа, на I курсе проводится как урок изучения данной темы, на II курсе – как урок повторения и подготовки к итоговому экзамену. На уроке используется презентация «Решение задач на максимум и минимум с помощью производной», исследовательские мини-проекты учащихся и раздаточный материал по теме.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Цель данного урока – знакомство с задачами на оптимизацию и способами их решений, закрепление нового понятия на примерах решения задач практического содержания. Разработка урока рассчитана на 2 часа. Следующей парой уроков проводится практическая работа по теме: «Решение задач на исследование функций с помощью производной». Данный урок разработан для студентов I курса, но может использоваться и на II курсе, как урок повторения. На уроке решаются задачи практического содержания, предлагается вниманию исторический материал по возникновению и развитию понятия производной. Учащиеся распределены на 4-е группы, равнозначные по способностям, то есть в каждую группу включены сильные и слабые учащиеся. За неделю до данного занятия группам были даны домашние задания исследовательского характера. В каждой группе выбран ведущий учащийся. Для успешного выполнения работы были проведены учителем консультации для студентов.План урока:(3 мин) Организационный момент, проверка готовности групп к изложению своих мини-проектов (3 мин) Вступительное слово учителя. Тема и ее актуальность, как будет оцениваться работа учащихся (учитель).(30 мин) Мини-проекты учащихся групп и страницы истории возникновения и развития понятия производной (30 мин.)(6 мин) Технологическая карта решения задач на оптимизацию.(15 мин) Совместно решаем задачу у доски.(20 мин) Рефлексия. Самостоятельная работа по решению одной из 4-х предложенных задач на выбор членов группы.(10 мин) Защита решений у доски.(3 мин) Заключительный этап. Итоговая рефлексия На уроке применяется презентация Power Point и раздаточный материал по теме. Преподавание ведется по учебнику Ш.А.Алимова «Алгебра и начала анализа 10 – 11»УРОК АЛГЕБРЫ для студентов I курсаПО ТЕМЕ: Задачи на максимум и минимумУрок изучения нового.Учебник: «Алгебра 10 - 11» Ш.А.Алимов и др.Цель: Познакомить с задачами на оптимизацию и способами их решений.Задачи:Образовательные (достижение предметных результатов)Сформировать у учащихся представление о задачах, решаемых методами математического анализа.Составить технологическую карту решения задач на оптимизацию.Обучить составлению математической модели практической задачи на оптимизацию.Сформировать умение применять алгебраический аппарат к изучению реальных действий.Развивающие задачи (достижение метапредметных результатов)Показать связь математики с реальной действительностью, развивать творческий потенциал, навыки самообучения. Создать условия для развития умений работать, соблюдая временной режим, осуществлять самоконтроль, самооценку, самокоррекцию учебной деятельности.Создать условия для мыследеятельности и мыслекоммуникации, развивать логическое мышление и речь. Воспитательные (достижение личностных результатов) Воспитание интереса к учебе и настойчивости для получения верных конечных результатов.Формировать умение наблюдать, обобщать, проводить рассужденияРазвитие навыков оценивания своей и чужой деятельности.Оборудование: -проектор для воспроизведения презентации Microsoft Power Poin;-исследовательские мини-проекты учащихся; -бумага А-2 для творческой защиты самостоятельного решения задачи с помощью производной;-раздаточный материал: дидактический и информационный. а) содержание урока;б) технологическая карта решения задач на оптимизацию;в) задачи для решения;г) таблица оценивания работы студентов;д) визитная карточка урока для гостей.Ход урока.(3мин) Организационный момент. Приветствие и запись отсутствующих.Учитель проверяет готовность студентов к изложению творческой домашней работы, дает некоторые рекомендации и указания.(3 мин) Вступительное слово учителя. Учитель отмечает, что сегодня проводится урок знакомства с задачами на оптимизацию, которые можно решить с помощью производной и другими способами (слайд )- Эпиграфом к нашему уроку могут стать слова великого ученого Д. Пойа «Математика интересна тогда, когда дает пищу нашей изобретательности и способности к рассуждениям»(слайд )(32 мин) Творческие мини-проекты учащихся (домашняя работа).(7 мин) Составление технологической карты решения задач на оптимизацию. После обсуждения содержания технологической карты, учитель раздает отпечатанный план решения задач на оптимизацию с помощью производной(12 мин) Совместное решение задачи-образца на доске.(20 мин) Самостоятельная работа по группам. Решение одной из 4-ех предложенных учителем задач на выбор.(10 мин) Творческая защита решений задач у доски.(3мин) Итоговая рефлексия. Домашнее задание. Итоги урока: усвоили способ решения задач на оптимизацию с помощью производной, повторили другие способы.Содержание урока(3мин) Организационный момент.Приветствие и запись отсутствующих. Учитель проверяет готовность студентов к изложению творческой домашней работы, дает некоторые рекомендации и указания.(3 мин) Вступительное слово учителя. Тема нашего урока: «Задачи на максимум и минимум»- Эпиграфом к нашему уроку могут стать слова великого ученого Д. Пойа «Математика интересна тогда, когда дает пищу нашей изобретательности и способности к рассуждениям» (слайд )В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принимать наилучшее возможное или оптимальное решение. Огромное число подобных проблем возникает в экономике, в технике, да и просто в обыденной жизни. Люди издавна желали получить наибольшую выгоду при наименьших затратах. При решении таких проблем часто помогают математические способы. Эти задачи в математике называют задачами на экстремум.В математике исследование задач на экстремум началось 25 веков назад. Долгое время каждая задача на максимум и минимум решалась индивидуально. С возникновением математического анализа были созданы общие методы их решения. Такие методы были разработаны Ферма, Ньютоном, Лейбницем и другими учеными.Задачи на максимум и минимум на протяжении всей истории математики играли важную роль в развитии этой науки. За все это время накопилось большое число красивых, важных, ярких и интересных задач в геометрии, алгебре, физике и т. п. В решении этих конкретных задач принимали участие крупнейшие ученые прошлых эпох – Евклид, Архимед, Аполлоний, Герон, Тарталья, Торричелли, Иоганн и Якоб Бернулли, Ньютон и многие другие. Сейчас вы расскажите о некоторых таких задачах и о том как они могут решаться с помощью производной.(32 мин) Творческие мини-проекты учащихся (домашняя работа).I группа Задача. Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию , где х – месяцы, V – миллионы. Требуется исследовать оборот предприятия.Решение.Исследуем оборот предприятия с помощью производной: , при х=8230505114935V´0V´1061085179705002204085179705641985144780000230505179705V0V192405133985001845945144780808339344019685х00х258508514478012012 ▪ ̶ ▪ + ▪ 176974515875min0minВывод: На восьмом месяце предприятие имеет минимальный оборот и терпит убытки, а на девятом месяце стало набирать обороты.Исследовать оборот предприятия можно еще с помощью графика:В программе «математический конструктор» мы построили график, по которому можно проследить изменение оборота предприятия более детально.II группа. Задача. Зависимость суточного удоя молока в литрах от возраста коров в годах определяется уравнением , где х - возраст коров х >2 , Y- литры. Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.Решение. , х >2. Исследуем функцию с помощью производной. при х=7.2630805108585__1411605116205++1929765109220max0max230505114935Y´0Y´3656965-3175х00х32194573025002394585250190001365885242570002062480143510707984885181610202230505179705Y0Y ° ▪ Вывод: Суточный удой молока у коровы будет наибольшим в возрасте 7 лет. Исследовать удой молока можно еще с помощью свойств параболы: - абсцисса вершины параболы, ветви которой направлены вниз, значит - точка максимума.III группа. Задача. В рассказе Л.Н. Толстого “Много ли человеку земли надо” крестьянин Пахом мечтает о собственной земле. Когда он, наконец, собрал желаемую сумму и предстал перед барином, тот ответил ему: “Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за тысячу рублей. Но если к заходу солнца не вернешься на место, с которого вышел, пропали твои деньги”. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром 40 км.Скажите, какую геометрическую фигуру должен был обойти Пахом, чтобы получить максимальную площадь земли? Решение.С помощью программы GeoGebra мы исследовали вопрос задачи и получили ответ такой, что наибольшую площадь земли получит Пахом, если обойдет квадрат со стороной 10 км. 4762559118500Такое же утверждение мы получили, решая задачу аналитически с помощью производной:1830705290830b00b 733425287020а0аПлощадь четырехугольника, периметр которого равен 40км, определится уравнением: , где 0< x <20. Исследуем функцию с помощью производной. при 1061085212090+00+2326005189230̶̶̶̶_00̶̶̶̶_1647825113030max00max230505114935S´0S´2495557810500212471017208500100774514033500276034519050020020385508512065х00х173164514478010010641985144780000230505179705S0S ° ▪ ° - точка максимума, следовательно наибольшее значение на интервале 0< x <20 функция принимает в точке ( это значение Ответ: Квадрат со стороной 10км должен обойти Пахом, чтобы получить наибольшую площадь земли. Вывод: Из всех четырехугольников, имеющих равные периметры, наибольшую площадь имеет квадрат.А самая простая и самая древняя задача была такой: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решена она была древнегреческим математиком Евклидом. Все задачи такого содержания в древней Греции были объединены одним названием – «задачи Дидоны». Они названы по имени легендарной основательницы одного из старейших городов Греции и его первой царицы Дидоны.Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие ремешки, и разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было покрыть одной шкурой. Математическую задачу, с которой столкнулась Дидона, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая L, чтобы площадь фигуры, ограниченной этой кривой, была наибольшей? Кривая, решающая эту классическую изопериметрическую задачу, - это окружность, и Дидона решила задачу верно. IV группа. Задача. ЗАДАЧА ТАРТАЛЬИ. Разделите число 8 на две такие части, чтобы произведение их произведения на их разность было максимальным.Решение. Пусть х- одна часть числа 8, тогда (8-х) – вторая часть. Составим функцию , где 0<x<8 и исследуем ее на максимум. После преобразования, получим функцию: и исследуем ее с помощью производной., при 3507740177800̶¯0̶¯1076325177800̶¯0̶¯285940567310max00max2173605116840+00+230505114935F´0F´ 4063365160020800823050573660002173605200025009010652260600034309052032000012592051828800489902573025х00х641985144780000230505179705F0F ° ▪ ▪ ° 265366536195 00 - точка максимума, следовательно наибольшее значение на интервале 0<x<8 функция принимает в точке . Число 8 надо разделить на и .Ответ: Примечание: Решая эту задачу, Тарталья впервые нашел способ решения кубического уравнения. Он получил формулу, которая известна, как формула Кардано, по имени человека опубликовавшего ее. Вот эта формула: для уравнения Тарталья самой формулы не опубликовал, но в ряде своих работ он сообщал о том, что умеет решать кубические уравнения. В одном из его сочинений была поставлена и данная задача. Автор не привел ее решения, но указал ответ. Этот ответ был сформулирован так:«Число 8 следует разделить пополам; квадрат этой половины, увеличенный на треть этого квадрата, должен равняться квадрату разности обеих частей»Таким образом, если искомые числа обозначить через a и b (а>b), то для разности а-b Тарталья дал такое выражение:, откуда ; , . Следовательно, Тарталья не ошибся.Крупнейший математик эпохи Возрождения Никколо Тарталья (1499–1557) прославился блестящей победой на математическом диспуте в 1535 году. В тот день за 2 часа он решил 30 уравнений вида x3 + mx2 = n и x3 + ax = b (до этого считалось, что такие уравнения невозможно решить общей формулой).«Я приложил все свое рвение, усердие и уменье, чтобы найти правило для решения кубических уравнений, и, благодаря благосклонной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до поединка».Все же, думается, главная победа Тартальи состояла в ином. В том, что заикающийся мальчишка, который не мог учиться в школе из-за отсутствия денег, который рос без отца, погибшего при обороне родного города Брешиа, самостоятельно изучил математику, итальянский, латынь, греческий. В том, что самоучка Тарталья вырвался из цепких лап нищеты и безграмотности. Когда на заборах, камнях и даже могильных плитах кладбища Никколо царапал формулы, сосредоточенно вычисляя что-то, прохожие посмеивались и даже крутили пальцем у виска — совсем, мол, спятил парень. Насмешки улетучились, когда «этот парень» сначала стал учителем арифметики, затем преподавателем математики в университетах Вероны и Венеции. Инженеры венецианского арсенала высоко ценили Тарталью как специалиста в вопросах баллистики (он показал, что наибольшая дальность полета снаряда достигается при угле 45° наклона ствола орудия).Так что Тарталья выиграл свой главный поединок, сотворив себя сам. Пусть по сей день ведутся жесточайшие споры: кто автор формулы Кардано? Сам ли Кардано? Или Тарталья, поведавший ее Кардано в зашифрованном виде? А может быть, профессор Болонского университета Сципион дель Ферро? (Есть серьезные основания так полагать!..) Не беда, что свой последний математический диспут заикающийся немолодой Тарталья проиграл юному красноречивому ученику Кардано. Так или иначе, именно Тарталья вместе с Кардано и тем самым его учеником Феррари проложили главную тропу на пути, по которому в дальнейшем стала развиваться алгебра!..Заслуги Н. Тартальи в геометрии скромнее. Но и они весомы: он перевел на итальянский сочинения Евклида и Архимеда — с тем, чтобы все желающие, включая таких же бедняков, каким он был сам, могли прочесть труды блестящих древнегреческих геометров.Геометрические предпочтения самого Тартальи близки по духу идеям арабского математика Абу-ль-Вафы (940–998), который большое внимание уделял построениям с помощью линейки и циркуля постоянного раствора.В предложенной серии задач, выполняемых линейкой и циркулем постоянного раствора, первая принадлежит самому Тарталье. Остальные, несомненно, находились в круге его интересов. К тому же они важны с точки зрения построений указанными средствами, поскольку способствуют росту геометрического воображения и расширению кругозора учащихся.4.(7 мин) Составление технологической карты решения задач на оптимизацию. После обсуждения содержания технологической карты, учитель раздает отпечатанный план решения задач на оптимизацию с помощью производной. Технологическая карта решения задач на оптимизацию.ДействияНапример. Задача (про Пахома). Какую геометрическую фигуру должен был обойти Пахом, чтобы получить максимальную площадь земли, если периметр фигуры равен 40 км. Этап 1 .Составление математической модели задачиПостроить чертеж, если задача геометрическая647701524000 b P=40 а1.Проанализировав условия задачи, выделить оптимизируемую величину, т.е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначьте ее буквой у (или S, R, V - в зависимости от фабулы).В данной задаче оптимизируемая величина – площадь. Обозначим ее S. Будем искать наибольшее значение площади. 2. Принять за х неизвестную величину и составить функцию от х, выражающую оптимизируемую величину.За примем ширину участка, тогда длина участка равна QUOTE (P2-x) . Площадь тогда QUOTE y=xP2-x= 3. Установите реальные границы изменения независимой переменной в соответствии с условиями задачи.4. Математическая модель задачи представляет собой функцию у=f(х) с областью определения Х. Надо найти точку максимума или минимума этой функции на данном интервале.Найти максимум функции на интервале QUOTE 0;20 (0;20)Этап 2. Работа с составленной моделью5. Находим производную функции6. Находим стационарные точки, принадлежащие области определения составленной функции (точки, в которых производная равна 0), 7. Указываем на координатной прямой промежутки между концами области определения функции и стационарными точками, находим точки экстремума. Определяем вид точки и отмечаем, что в точке максимума функция принимает наибольшее значение, а в точке минимума – наименьшее значение. 232410111760S´00S´127444599695max00max2000250198755-00-956310198755+00+-1333573025002435225190500F00F1779270248285001454150179705200020750570247015004965701447801000103855085120650000230505179705х00х ° ▪ ° является точкой максимума. Следовательно, наибольшее значение на интервале (0;20) функция принимает в точке .Ширина участка равна 10, длина равна 20 - 10=108.Находим соответствующее значение функции, если это требуется в задаче.Наибольшее значение функции на интервале QUOTE 0;20 (0;20) QUOTE yнаиб=20∙10--102=100 Этап 3. Анализ решения9. Здесь следует получить конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.Ответ. Это квадрат со стороной 10 км. 5.(12 мин) Совместное решение задачи-образца на доске.Представьте число52 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы сумма квадратов всех слагаемых была наименьшей, а отношение первого числа ко второму было равно 1:3.Решение. В данной задаче оптимизируемая величина – сумма. Обозначим ее S. Будем искать наименьшее значение суммы.Пусть За примем первое слагаемое, тогда второе слагаемое будет равно QUOTE (P2-x) ( по условию задачи ), а . Сумма тогда равна .Установим реальные границы изменения независимой переменной в соответствии с условиями задачи. откуда получаем (0;13) – область определения функции;Необходимо найти точку минимума функции на интервале (0;13). при , . ̶ +31718251892301300132273935212090800810306051663700003850005165735х0х1403985150495025927051504955581657493000 ° ▪ ° 4832985412750 является точкой минимума. Следовательно, наименьшее значение на интервале (0;13) функция принимает в точке . Ответ: 52=8+24+20 6.(20 мин) Самостоятельная работа по группам. Решение одной из 4-ех предложенных учителем задач на выбор. Задачи:Число 42 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так. Чтобы отношение первого числа ко второму было равно 3:4, а произведение всех трех чисел было наибольшим.Участок в форме прямоугольника площадью 800 огорожен с трех сторон забором. Найдите наименьшую длину забора.Среди прямоугольников, сумма длин трех сторон у которых равна 20, найти прямоугольник наибольшей площади.Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.7.(10 мин) Творческая защита решений задач у доски. 8.(3мин) Итоговая рефлексия. Домашнее задание. Учитель подводит итоги урока, выставляет отметки в оценочные таблицы, спрашивает о заданиях, вызвавших интерес или затруднения. Мини- проек-тыСодержа-ниеФорма представ-ленияАктив-ностьВремен-ной режимТворче-ствоИтогГруппы I IIIIIIVСамо-стояте-льная работаРешилиправиль-ноРешили рацио-нальноЗащитарешенияВремен-ной режимТворче-ствоИтогГруппы I IIIIIIV Домашнее задание: § 52, Алимов№ 941; и по желанию № 948;САМОАНАЛИЗ Урок проводился для студентов I курса. Учащиеся знают определение производной, основные формулы дифференцирования, физический и геометрический смысл производной. Данный урок – это знакомство с практически важными задачами на применение производной, которые называются задачами на оптимизацию. Это 8- ая пара уроков по изучению темы «Производная и ее применение». На уроке исследуются задачи на максимум и минимум с практическим содержанием. Многие из этих задач решены студентами самостоятельно, как на уроке так и при подготовке к нему. На уроке учащиеся знакомятся с технологической схемой решения задач данного типа и отрабатывают ее при решении задач. Создаются все условия для развития творческого потенциала, самоконтроля и навыков самообучения. Широкие возможности развития умения делать выбор, логического мышления и речи. Работа на уроке и при подготовке к нему была направлена на воспитание интереса к учебе, формирование внимания и наблюдательностиСледующая тема: Исследование функций с помощью производной и построение их графиков. ЛИТЕРАТУРААлимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа. 10 – 11» Москва «Просвещение» 2010 г.«Практические занятия по математике». Н.В. Богомолов.I группа Задача. Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию , где х – месяцы, V – миллионы. Требуется исследовать оборот предприятия.Рекомендации: а) построить график данной функции в программе «математический конструктор» и исследовать изменения функции;б)с помощью производной найти точки экстремума и сделать вывод по работе предприятия.Рассказать о И. Ньютоне и Г.В. Лейбнице – основателях дифференциального и интегрального исчисления. ( в этом году исполняется 370 лет со дня рождения Лейбница). II группа.1) Задача. Зависимость суточного удоя молока в литрах от возраста коров в годах определяется уравнением , где х - возраст коров х >2 , Y- литры. Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.Рекомендации: а) с помощью производной найти точки экстремума и сделать вывод по вопросу задачи;б)Показать второй способ решения задачи с помощью свойств параболы, т. е. изобразить параболу на области определения, ответить на вопрос задачи и найти наибольший суточный удой молока.2)Рассказать о роли производной в науке и технике, о максимумах и минимумахIII группа. Задача. В рассказе Л.Н. Толстого “Много ли человеку земли надо” крестьянин Пахом мечтает о собственной земле. Когда он, наконец, собрал желаемую сумму и предстал перед барином, тот ответил ему: “Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за тысячу рублей. Но если к заходу солнца не вернешься на место, с которого вышел, пропали твои деньги”. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром 40 км. Скажите, какую геометрическую фигуру должен был обойти Пахом, чтобы получить максимальную площадь земли? Рекомендации: а)Используя программу GeoGebra, показать, что из всех четырехугольников заданного периметра наибольшую площадь имеет квадрат;б)Составить функцию S(x), выражающую площадь, если известен периметр прямоугольника и исследовать составленную функцию на экстремум с помощью производной. Сделать вывод: квадрат со стороной 10км должен обойти Пахом, чтобы получить наибольшую площадь земли. 2) Рассказать про «задачи Дидоны». Самая простая и самая древняя задача была такой: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решена она была древнегреческим математиком Евклидом. Все задачи такого содержания в древней Греции были объединены одним названием – «задачи Дидоны». Они названы по имени легендарной основательницы одного из старейших городов Греции и его первой царицы Дидоны….. (рассказать об этом подробнее) IV группа. 1)Задача. ЗАДАЧА ТАРТАЛЬИ. Разделите число 8 на две такие части, чтобы произведение их произведения на их разность было максимальным.Рекомендации: а) Первую часть числа 8 принять за х и составить выражение, согласно условию задачи;б)Рассмотреть выражение, как функцию от х и найти ее экстремумы с помощью производной, ответить на вопрос задачи.2)Рассказать про ТартальюРешая эту задачу, Тарталья впервые нашел способ решения кубического уравнения. Он получил формулу, которая известна, как формула Кардано, по имени человека опубликовавшего ее.Крупнейший математик эпохи Возрождения Никколо Тарталья (1499–1557)…..(рассказать о нем подробнее)