МАТЕРИАЛЫдля подготовки к муниципальному этапу ВСОШ по математикеучащихся 9 классаСоставитель: Пунанцева В.А.,учитель математики МАОУ «СОШ №5»городской округ Архангельской области «Северодвинск»Задание 1. Уравнения.Текст заданияСборник материаловОбразовательные ресурсы1Решить уравнение: x2+xy+y-2x+2y+4=0.Сборник олимпиадных заданий для учащихся 8-11 классов. Математика. Физика. Астрономия. Биология. Экология. Химия. География: Практическое пособие / Сост. Л.К. Кортукова,А.А.Теплов. – М.:АРКТИ, 2007. Стр. 5.2Существует ли такое целое x, что x3-3x2+2x+2003=0.Фарков А.В. Готовимся к олимпиадам по математике: учеб.-метод.пособие / А.В.Фарков. – М.: Издательство «Экзамен», 2007.Стр 303Существуют ли такие целые числа x и y, что x2+5xy-y2=6?Фарков А.В. Готовимся к олимпиадам по математике: учеб.-метод.пособие / А.В.Фарков. – М.: Издательство «Экзамен», 2007.Стр 314Пусть D- дискриминант приведённого квадратного трёхчлена x2+ax+b. Найдите корни трёхчлена, если известно, что они различны и один из них равен D, а другой равен 2D.АгахановН.Х. Районные олимпиады. 6-11 классы /Н.Х.Агаханов, О.К. Подлиский. – М.: Просвещение, 2010.Стр. 93.5Решите уравнение:.Шевкин А.В. Школьная математическая олимпиада: задачи и решения. Вып. 2.- Илекса,2008.Стр 7.Задание 2. Текстовая задача.Текст заданияСборник материаловОбразовательные ресурсы1Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они встретились в полдень, и первая достигла чужого города в 4 часа пополудни, а вторая – в 9 часов. Узнайте, когда они вышли из своих городов.Шевкин А.В. Школьная математическая олимпиада. Задачи и решения.- Выпуск 1. – М.: Илекса, 2008.Стр. 52По кольцевой трассе одновременно из одной точки в одном направлении стартовали три велосипедиста. Первый из них проезжает всю трассу за 5 минут, второй – за 7 минут, третий – за 9 минут. Через какое наименьшее время все велосипедисты вновь окажутся в одной точке трассы? Скорости всех велосипедистов постоянны.ВСОШ, 2021/2022 учебный год, Муниципальный этап , Архангельская область.https://www.arkh-edu.ru/olympics/vo/list.php?SECTION_ID=146453В юности М.В.Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20 %, на туже денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены ещё раз вырастут на 20 %?Олимпиадные задания по математике. 5-11 классы / авт.-сост. О.Л. Безрукова. – Волгоград : Учитель, 2010.Стр . 84.4В классе из 30 учащихся получили на контрольной оценки «5», «4», «3», «2». Сумма полученных оценок равна 90, причём, «троек» было больше, чем «пятёрок» и «четвёрок». Кроме этого, известно, что число «четвёрок» кратно 5, а число «троек» кратно 7. Сколько и каких оценок получил класс?Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике/ Э.Н.Балаян. – Ростов н/Д: Феникс, 2007.Стр. 71.5В некотором царстве, в некотором государстве стоимость алмаза пропорциональна квадрату его массы. Приогранке алмаза откололась некоторая его часть. Какая часть алмаза откололась, если стоимость уменьшилась на 36 %?Шевкин А.В. Школьная математическая олимпиада: задачи и решения. Вып. 2.- Илекса,2008.Стр 7.Задание 3. Геометрическая задача.Текст заданияСборник материаловОбразовательные ресурсы1Точки M, N, P, K – cоответственно середины сторон BC, CD, DA и AB выпуклого четырёхугольника ABCD. Отрезки AM и KC пересекаются в точке E, а отрезки AN и CP – в точке F. Найдите площадь четырёхугольника ECFA, если площадь четырёхугольника ABCD равна 48.ВСОШ, 2022/2023 учебный год, Муниципальный этап , Архангельская область.https://www.arkh-edu.ru/olympics/vo/list.php?SECTION_ID=146452Найти угол B в треугольнике ABC, если известно, что высоты, выходящие из Aи C, пересекаются внутри треугольника и одна из них делится точкой пересечения на равные части, а другая в отношении 2:1, считая от вершины.Олимпиадные задания по математике. 5-11 классы / авт.-сост. О.Л. Безрукова. – Волгоград : Учитель, 2010.Стр.79.3Один из углов треугольника на 1200 больше другого. Докажите, что биссектриса, проведённая из третьего угла этого треугольника, вдвое длиннее высоты, проведённой из этого же угла.Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия . 5-11 классы/ А.В.Фарков. – М.: Айрис-пресс, 2007. Стр. 46.4На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD вне его построены равносторонние треугольники ABM и BCN. Докажите, что треугольник DMN – равносторонний.Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия . 5-11 классы/ А.В.Фарков. – М.: Айрис-пресс, 2007. Стр. 465Пусть AC – наибольшая сторона треугольника ABC, I- центр вписанной в него окружности. На стороне AC выбраны точки M и N, такие, что AM=AB, CN=CB. Докажите, что треугольник MIN равнобедренный.АгахановН.Х. Районные олимпиады. 6-11 классы /Н.Х.Агаханов, О.К. Подлиский. – М.: Просвещение, 2010.Стр. 93.Задание 4. Задачи с числами.Текст заданияСборник материаловОбразовательные ресурсы1В коробке лежат 2006 белых и 2007 чёрных шаров. Они тщательно перемешаны. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из коробки не глядя, чтобы среди них обязательно нашлись 340 шаров одного цвета?Шевкин А.В. Школьная математическая олимпиада: задачи и решения. Вып. 2.- Илекса,2008.Стр. 16.21997*** делится на 1996. Сколько способов существует заменить *** цифрами?Фарков А.В. Математические олимпиады в школе в школе. 5-11 класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.Стр. 473Найдите четыре последовательных натуральных числа, произведение которых равно 1680.Олимпиадные задания по математике. 5-11 классы / авт.-сост. О.Л. Безрукова. – Волгоград : Учитель, 2010.Стр . 82.4Трёхзначное число начинается цифрой 4. Если её переставить в конец числа, то получим число, составляющее ¾ исходного. Найдите исходное трёхзначное число.Олимпиадные задания по математике. 5-11 классы / авт.-сост. О.Л. Безрукова. – Волгоград : Учитель, 2010.Стр . 865Из четырёх различных цифр составили всевозможные четырёхзначные числа, в которых эти цифры встречаются ровно один раз. Сумма составленных чисел 199980. Найдите эти цифры.ВСОШ, 2021/2022 учебный год, Муниципальный этап , Архангельская область.https://www.arkh-edu.ru/olympics/vo/list.php?SECTION_ID=14645Задание 5. Логические задачи.Текст заданияСборник материаловОбразовательные ресурсы1Каждый ученик класса занимается в двух кружках, и для каждых трёх учеников есть кружок, в который они ходят вместе. Докажите, что имеется кружок, в котором занимаются все ученики.Сборник олимпиадных заданий для учащихся 8-11 классов. Математика. Физика. Астрономия. Биология. Экология. Химия. География: Практическое пособие / Сост. Л.К. Кортукова,А.А.Теплов. – М.:АРКТИ, 2007. Стр. 6.2Петя, Вася, Коля и Миша играли в футбол. Один из них разбил мячом стекло. На вопро: «Кто это сделал?» Петя, Вася и Коля ответили: «Не я», а Миша – «Не знаю». Потом оказалось, что двое из них сказали правду, а двое –неправду. Знает ли Миша, кто разбил стекло? Ответ объясните.Фарков А.В. Готовимся к олимпиадам по математике: учеб.-метод.пособие / А.В.Фарков. – М.: Издательство «Экзамен», 2007.Стр. 403Ученики 9 «A», 9 «Б», 9 «В» собрались на линейку. Марья Ивановна решила посчитать количество присутствующих из каждого класса. У неё получилось, что на линейке было 27 учеников из 9 «A», 29 учеников из 9 «Б» и 30 учеников из 9 «В». А Илья Григорьевич решил посчитать сразу общее количество присутствующих из всех трёх классов — у него получилось 96 учеников. Оказалось, что при подсчёте численности каждого класса Марья Ивановна ошиблась не более чем на 2. А при подсчёте общей численности Илья Григорьевич ошибся не более чем на 4. Сколько учеников из 9 «A» присутствовало на линейке?https://olympiads.mccme.ru/vmo/2023/ii-9.pdf4Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причём монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число t>1(не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в t раз, не меняя количества наклеек, то в его коллекции будет 100 предметов. Если вместо этого он увеличит количество наклеек в t раз, не меняя количества монет, то у него будет 101 предмет. Сколько наклеек могло быть у Саши? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.https://mmo.mccme.ru/2022/#95У входа на рынок есть двухчашечные весы без гирек, которыми каждый может воспользоваться по 2 раза в день. У торговца Александра есть три неотличимые внешне монеты весом 9,10 и 11грамм.- Как жаль, что я не могу за два взвешивания разобраться, какая из моих монет сколько весит!- Да! – поддакнул его сосед Борис. – У меня совершенно та же ситуация – тоже 3 неотличимые на вид монеты весом 9,10 и 11 грамм!Докажите, что если они объединят усилия, то за отведённые им 4 взвешивания определят веса всех шести монет.https://mmo.mccme.ru/2022/#9